1. 背景介绍

1.1 Margin 的意义

从数学上来说,如果一个博彩盘口共有n种可能发生的结果(默认各个结果是互斥的),且每种情况对应的赔率为O_i \enspace i \in \{1,2,3,\cdots,n\},则我们记:

Margin = \sum_{i=1}^n\frac1{O_i}

足彩的庄家在开盘时,会首先综合各种情况,对比赛结果的概率做一个分析,然后开出对应的赔率。以抛硬币为例,一枚正常的硬币,抛出正面和反面的概率应该各是\frac12,因此开出的公平赔率应该 2 和 2(即发生概率的倒数),但实际情况来说,庄家开出的赔率会是 1.9 和 1.9,这样就可以保证,在任何情况下,彩民都没有必胜的下注方式。

2. Margin 大于 1 和彩民没有必胜策略充分必要性

首先,我们设一个博彩盘口共有n种可能发生的结果,且每种情况对应的赔率为O_i \enspace i \in \{1,2,3,\cdots,n\}为了简化运算,彩民的赌资设为 1,并且其在第 i 个选项上下注量设为S_i,其策略集可以表示为(S_1, S_2, \cdots, S_n),显然有\sum_{i=1}^nS_i = 1
当第 i 种情况发生时,彩民可以获得的收益为O_i*S_i

2.1 充分性(Margin>1 \Rightarrow 彩民没有必胜策略)

用反证法,假设彩民存在必胜策略,即

\exists(S_1, S_2, \cdots, S_n),\quad\forall i \in \{1,2,3,\cdots,n\},\quad O_iS_i > 1

从而,我们可以得出

S_i > \frac1O_i

对所有 i 求和,显然有

\begin{aligned} \sum_{i=1}^nS_i & > \sum_{i=1}^n\frac1O_i \\ 1 & > \sum_{i=1}^n\frac1O_i = Margin \end{aligned}

与前提矛盾,从而充分性得证。

2.2 必要性(彩民没有必胜策略 \Rightarrow Margin>1)

同样用反证法,反设Margin<1
此时,我们构造这样一种投注策略,彩民在第 i 种选项上的投注量为

S_i = \frac{\frac1O_i}{\sum_{i=1}^n\frac1O_i}

这样的策略显然满足投注量总和为 1 的要求,但在这种策略下

\forall i \in \{1,2,3,\cdots,n\},\quad O_iS_i = O_i * \frac{\frac1O_i}{\sum_{i=1}^n\frac1O_i} = \frac1{\sum_{i=1}^n\frac1O_i}

又由反证假设,可以得到

\frac1{\sum_{i=1}^n\frac1O_i} > 1

即,我们构造出了一种投注策略使得彩民在任何情况下的收入都大于 1,与前提不符,从而必要性得证。